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第二章 不是個好理由



楊振寧和米爾斯嘗試發展解釋強核力的量子場論,並惹惱了包立



  狄拉克在一九二七年結合了量子理論和愛因斯坦的狹義相對論,發現電子自旋和反物質。狄拉克的方程式很適切地被視為絕對的奇蹟,但物理學家同樣很快就意識到,這並不是故事的結局。

  物理學家開始承認,他們需要一個具有完備相對性的量子電動力學(一般簡稱QED),這套理論本質上會是馬克士威方程式的量子版本,且合乎愛因斯坦的狹義相對論,還需要合併量子版本的電磁場。

  有些物理學家相信「場」比「粒子」更基本,一般認為,對量子場適當的描述應該要能產生場的「量子」(quanta),量子是與場本身相對應的粒子,負責在兩個交互作用的粒子間,將媒介力從一個粒子媒介到另一個粒子。光子似乎很明顯是量子電磁場的粒子,隨著帶電粒子的交互作用被產生或消滅。

  在一九二九年,德國物理學家海森堡和來自奧地利的包立便發展出了這樣一個版本的量子場理論,但有個大問題,這兩位物理學家發現他們無法精確解出場方程式(field equations)。換句話說,替這個場方程式求得單一且具有自身完備性(self-contained)的數學表達式,而且讓這個數學表達式被運用到所有條件底下,是一件不可能辦到的事。

  海森堡和包立必須求助另一種方法來解出場方程式,其基礎稱作「微擾展開式」(perturbation expansion)。在這個方法中,方程式被拆解成無窮級數的和,此無窮級數可展開為:x0 + x1 + x2 + x3 + ……,級數的第一項是能夠被精確求解的「零階」(或「零作用」),再接著加入額外(或「微擾」)的項,代表一階(x1)、二階(x2)、三階(x3)等等的修正。原則上,表達式裡的每一項都對零階的結果提供了愈來愈小的修正,逐漸使計算趨近於實際結果。所以最終結果的準確度,端視計算裡所包含的微擾項之個數而定。

  但是他們沒有找到愈來愈小的修正項,反而發現微擾展開式裡的某些項會迅速擴展成無限大。當結果被應用到電子的量子場論,這些無限大的項被認為是由電子的「自有能量」所致,也就是電子和自身的電磁場互動後的結果。

  明確的解法仍未可得。

  

  先暫時把這個問題放到一邊。查德威克於一九三二年發現了中子,在中子發現後的幾年內,義大利物理學家費米使用高能量的中子轟擊不同化學元素的原子,希望藉此尋找有趣的新物理。因為對費米的實驗結果感到困惑,德國化學家哈恩和斯特拉斯曼研究了鈾原子在接受過中子轟擊後的產物,但得到的結果更加難解。哈恩的長期研究夥伴邁特納和她的物理學家外甥弗里施逃離了納粹德國,甥舅兩人在一九三八年的聖誕夜,熱烈地討論哈恩和斯特拉斯曼的研究結果,最終促成了核分裂的發現。

  邁特納和弗里施的研究成果於一九三九年一月公諸於世,這是個不祥的發現,僅僅九個月後,第二次世界大戰就開打了。物理學家的身分從「空想的無用學者」搖身一變,成為各國最重要的戰爭資源,此刻他們正致力於將核分裂的發現轉變成世上最致命的戰爭武器。

  時間好不容易來到一九四七年,終於是時候把注意力轉回量子電動力學裡頭的問題了;據稱理論物理學陷入低迷,已經有將近二十年的時間了。

  

  但是另一次創造力的大爆發很快就來了。在一九四七年六月,一群頂尖美國物理學家聚集起來,參加一場只有受邀者才能與會的小型會議,地點在紐約長島東端的雪爾特島,一間名叫「公羊頭旅社」的隔板小飯店。

  會議陣容相當非凡,其中包括了奧本海默(原子彈之「父」)、貝特(洛色拉莫士科學研究所理論部負責人)、魏斯科普夫、拉比、泰勒、凡扶累克、馮諾伊曼、蘭姆,以及克拉莫。新一代的物理學家代表為惠勒、派斯、費曼、施溫格,還有奧本海默之前的學生塞伯和玻姆。愛因斯坦也受邀參加,但因為健康問題而拒絕了。

  這些物理學家耳聞一些叫人心神不寧的新實驗結果,實驗顯示,氫原子在兩個量子態之間具有微小的能量差值,這種現象後來被稱作蘭姆移位,以其發現者蘭姆命名。根據狄拉克的理論所預測,這兩個量子態的能量應該完全一致才對。

  不只如此,拉比宣布了電子G因數(g-factor)的新測量值,這是一個反應單一電子和磁場之間交互作用之強度的物理常數,實驗結果是2.00244,但根據狄拉克的理論預測,G因數應當恰好為2。

  這些實驗結果顯示,缺乏完備的量子電動力學,就無法有準確的理論預測值。看來儘管現存的量子電動力學在數學結構上有些問題,但自然界卻完全沒把數學式中的無限大當一回事。物理學家必須找個方法解決這些矛盾。

  漫長的討論持續到夜裡,物理學家分成兩三人一組,走廊迴盪著他們的爭論聲,就像是他們重拾了對物理的熱情。施溫格後來談到:「這些物理的問題被壓抑了五年,這是第一次大家能夠彼此盡情交談,而不會有某個人從肩膀後面探頭問:『你們談論的事有得到批准嗎?』」1

  於是,在尋找物理真相的路上終於出現了一線曙光。荷蘭物理學家克拉莫提出一種新思維來看待電磁場中的電子質量,他建議將電子的自身的能量視為對質量的額外貢獻。

  在會議結束後,貝特回到紐約,搭上火車前往斯克內塔第,他在那裡擔任奇異公司的兼職顧問。他坐在火車上,把玩著量子電動力學的方程式。現存的量子電動力學預測蘭姆移位為無限大,這是電子與自身電場交互作用下的必然結果。貝特遵照克拉莫的建議,將微擾展開式裡那些無限大的項當成電磁場的質量效應。接下來該如何擺脫這些無限大呢?

  他推測這些無限大的項,可以直接被減法運算消除掉。當電子被束縛在氫原子裡,電子的微擾展開式會包括一個無限大的質量項,但是自由電子的展開式也同樣包含一個無限大的質量項,為什麼不直接把這兩個微擾展開式相減呢?這樣就可以消掉無限大的項了!乍聽之下,以無限大減去無限大,應該會產生荒謬的解答,但是貝特發現,在非相對性、簡單版本的量子電動力學裡,這樣相減的做法雖然不完美,但產出的結果合理多了。他想通了,在完全遵從愛因斯坦狹義相對論的量子電動力學裡,這種「重整化」(renormalization)的過程可以讓無限大的問題消失無蹤,並得到合乎物理現實的答案。

  利用重整化讓方程式的行為變得合理,因此貝特能夠大略預測蘭姆移位的大小。貝特不確定他在計算中引進因數2是否正確,所以在前往奇異公司的研究實驗室路上,他很快跑了一趟圖書館,確認自己沒有弄錯才安心。他後來算出蘭姆移位的預測值,只比蘭姆在雪爾特島會議上報告的實驗數據大了百分之四。

  這絕對是一個大發現。

  

  物理學家花了一點時間,才利用貝特的方法進行重整化,發展出更確實的相對性量子電動力學。一九四八年三月,有一場會議於波科諾莊園旅社舉行,地點在賓州斯克蘭頓附近的波科諾山脈。在其中一場馬拉松式的五小時座談會上,施溫格描述了一種版本的量子電動力學,但是他使用的數學太晦澀難解了,看起來只有費米和貝特從頭到尾聽懂他的推導過程。

  於此同時,施溫格在紐約的對手費曼也發展出一套方法來描述、追蹤量子電動力學裡的微擾修正項,這套方法與施溫格所使用的大不相同卻更加直觀。他們兩人對彼此的方法都不了解,但是當他們在施溫格的座談會尾聲比對了雙方的筆記,便發現兩邊得到的結果是一模一樣。「我這才知道我沒有瘋。」費曼說。2

  看來這件事已經大致底定了,但是奧本海默在從波科諾會議回來後不久,就接到了一封來自日本物理學家朝永振一郎的信,信中也描述了另一種同樣成功的量子電動力學方法。朝永振一郎使用的方法類似施溫格,但是他的數學似乎簡單許多。這情況叫人頗感困惑,這些解釋相對性量子電動力學的方法是如此不同,但都產出相似的答案,沒有人真的知道為什麼。

  這項挑戰由一位名叫戴森的年輕英國物理學家接下。一九四八年九月二日,戴森搭上一班巴士,由鄰近加州舊金山的柏克萊出發,往東岸前進。「旅程的第三天,發生了不得了的事,」他在幾個星期後給父母的信中寫道:「在搭乘巴士四十八小時後,我陷入某種半昏迷狀態,並開始努力思考物理,尤其是施溫格和費曼競爭的輻射理論。漸漸地,我的思緒愈來愈連貫,在我意識到之前,我已經解開了這些年壓在心底的謎團。我證明了施溫格和費曼的理論是等效的。」3

  戴森得到的結果,就是完全相對性的量子電動力學,這個理論所預測的數值,不論是準確性和精確性都達到了驚人的地步。戴森的量子電動力學預測電子的G因數為2.00231930476,而實際的實驗數據是2.00231930482。「舉個例讓你感受這些數字的準確性,」費曼後來寫道:「這種程度的準確性差不多就像是在測量洛杉磯和紐約之間的距離,誤差恰好相當於人類毛髮的粗細。」4

  

  量子電動力學的成功開創了一些重要的先例,現在看來,量子場論是描述基本粒子與其交互作用的正確方法,而牽涉其中的力是由場的粒子所媒介。和馬克士威的電磁場理論一樣,量子電動力學是U(1)規範理論,其中電子波函數的區域U(1)相位對稱性與電荷守恆有關。

  物理學家的注意力現在轉移到原子核內,尋求適用於質子和中子之間強核力的量子場論。但還有另一個謎團,電荷守恆與電磁理論之間的關聯(無論依古典或量子解釋)是相當直觀而明顯的,如果真有適用於強核力的量子場論,首要之務便是找出強交互作用相對應的守恆物理量,及其相關的連續性對稱變換。

  華裔物理學家楊振寧相信,在牽涉強核力的核交互作用裡,其相對應的守恆的物理量是同位旋(isospin)。

  楊振寧於一九二二年出生在中國安徽省的省會合肥。他在昆明就讀國立西南聯合大學,該大學是在一九三七年日本武力侵華後,由北京、南京和清華大學所共組的。楊振寧於一九四二年畢業,兩年後獲得碩士學位,接著在庚子賠款的獎學金加持下,於一九四六年前住芝加哥大學就讀。

  楊振寧在芝加哥大學接受泰勒的指導,學習核子物理學。因為受到美國發明家暨政治家富蘭克林的自傳啟發,他給自己取了一個英文名字叫「富蘭克林」,或暱稱「法蘭克」。他在一九四八年取得博士學位,以費米的助理身分再多進行一年研究。一九四九年,他動身到普林斯頓高等研究院。

  在普林斯頓的期間,他開始思考如何應用諾特定理,尋找強核力的量子場論。

  同位旋的概念來自一個簡單的事實:質子和中子的質量非常接近。當中子在一九三二年發現時,物理學家很自然地假設中子是個合成粒子,由一個質子和一個電子組成。眾所皆知,貝他放射衰變是從原子核直接放射出的一個高速電子,中子經過這個過程後轉變成為質子,這似乎暗示了在貝他放射性裡,其中一個合成的中子基於某種原因,將「卡住」的電子給放射了出來。

  在中子發現不久後,海森堡採用「中子就是質子加電子」的概念,發展出質子和中子在原子核內進行交互作用的早期理論,這個模型有很大一部分是以化學鏈結的理論為基礎。

  海森堡假設原子核內的質子和中子是透過交換電子而束縛在一起,過程中質子轉變成中子,而中子轉變成質子。在兩個中子之間的交互作用,則牽涉到交換兩個前進「方向」相反的電子。

  這種交換機制就意味著,在原子核內,質子和中子傾向於失去自己的本質,不停地互相轉換。這符合海森堡的目的,他想像質子和中子只不過是同一種粒子的不同狀態,而這種粒子的不同狀態具有不同的屬性,所以能夠區分出質子和中子。當然,這種粒子在不同狀態下攜帶的電荷也不一樣,一種狀態帶正電,另一種狀態不帶電。但是海森堡的理論要能夠運作,他還需要進一步引進一種能與電子自旋類比的新屬性。

  因此海森堡引進了同位旋的想法(可別和電子自旋搞混了),質子的同位旋方向被(任意)指定為自旋向上,中子為自旋向下,這裡的上和下是在「同位旋空間」裡的方向,而同位旋空間也只有上和下兩個維度。將中子轉變成質子,就等於是在同位旋空間裡「轉動」中子的自旋方向,從向下轉成向上。

  這一切聽來頗為神祕,但是同位旋在很多方面都跟電荷很像。我們對電的熟悉不應該使我們盲目,事實上,電荷也只是抽象的「電荷空間」裡的一種屬性「值」(如同上述「同位旋空間」裡的「方向」),亦即正和負。

  雖然海森堡的理論只是簡單的類比,但已經將舊有理論往前延伸了一步。同樣都是透過交換電子而形成,化學鏈結的力比起將質子和中子束縛在原子核內的力要弱上許多,但是海森堡能夠使用他的理論,將非相對性的量子力學應用在原子核上。他在一九三二年發表的一連串論文裡,解釋了核子物理學領域的許多觀察,比如說同位素的相對穩定性。

  區區幾年後,這個理論的缺陷就在實驗中暴露出來了。因為質子裡頭沒有「卡住」的電子,海森堡的電子交換模型並不允許質子之間進行任何類型的交互作用,但是相反地,實驗顯示質子之間的交互作用強度,和質子、中子之間的交互作用強度可相提並論。

  儘管這個理論有缺點,但海森堡的電子交換模型至少存在一絲真理,電子交換的部分被捨棄了,但是同位旋的概念保留了下來。就強核力而言,質子和中子在本質上是同一種粒子的兩個狀態,就像電子有兩種自旋方向,這兩個狀態唯一的不同之處,便是同位旋的方向。

  

  質子和中子各別的同位旋可以合在一起計算,產生整體的同位旋,這個概念最早是由物理學家維格納於一九三七年提出。核反應的相關文獻似乎支持整體同位旋守恆的想法,如同電荷在物理和化學變化裡守恆一樣。楊振寧現在確認同位旋是一種區域性的規範對稱,可以類比到量子電動力學當中電子波函數的相位對稱。他於是開始尋找一個量子場論能夠符合他對於同位旋的推論。

  楊振寧很快就陷入了困境,但他還是對這個問題感到著迷。「有些時候,讓人揮之不去的難題原來是好東西。」他後來這麼說。5

  一九五三年夏天,楊振寧向高等研究院請假,短暫造訪位於紐約長島的布魯克黑文國家實驗室。他和一位名叫米爾斯的年輕美國物理學家共用一間辦公室。

  米爾斯也被楊振寧著迷的問題所吸引,於是他們一起研究強核力的量子場論。「我們的動機別無其他,」米爾斯在幾年後解釋道:「他和我只是想自問:『像這樣的事發生過一次,為什麼不能再來一次?』」6

  在量子電動力學裡,電子波函數於時空中的相位變化會藉由電磁場的對應變化得到補償,場會「反推回去」,讓相位的對稱性被保留下來;但是強核力的新量子場論必須解釋牽涉到兩個粒子的事實,如果同位旋的對稱性是守恆的,那就意味了質子和中子之間的強核力並無差別。因此,一旦同位旋的對稱性被改變(比如說,將一個中子「旋轉」成質子),就需要一個能「反推回去」的場,這麼一來才能重置原本的對稱性。為了這個目的,楊振寧和米爾斯於是引進一種全新的場,他們稱之為「B場」。

  簡單的U(1)對稱群不足以應付這樣的複雜度,楊振寧和米爾斯把手伸向SU(2)對稱群(將兩個複變數做轉換所產生的特殊么正群)。之所以需要比較大的對稱群,只是因為現在有兩種可以彼此轉換的物體。

  該理論同時也需要三種新的場粒子,負責媒介原子核內質子和中子之間的強核力,角色類似量子電動力學裡的光子。三種場粒子的其中兩種負責媒介電荷,用以解釋質子─中子和中子─質子間交互作用造成的電荷改變,楊振寧和米爾斯將這兩種粒子稱作B+和B-;第三種粒子跟光子一樣不帶電,負責質子─質子和中子─中子這種電荷不變的交互作用,該粒子被稱作B0。他們發現這些場粒子不只和質子跟中子作用,彼此之間也有交互作用。

  到了夏天的尾聲,他們已經研究出一套解法,但是這套解法卻帶來了一整組新問題。

  舉一個例子來說,重整化方法在量子電動力學裡相當有效,但卻無法應用在楊振寧和米爾斯推導出的場論裡。更糟糕的是,微擾展開式的零階項顯示,這些場粒子應該如光子般不具質量,但是這自相矛盾,因為早在一九三五年,海森堡和日本物理學家湯川秀樹就已經提出,像強核力這種作用在短距離的力,其場粒子應該很「重」;換句話說,它們應該是又重又大的粒子才對。無論如何,強核力透過零質量粒子被媒介的想法,根本就說不通。

  

  楊振寧回到普林斯頓後,在一九五四年二月二十三日舉辦了一場研討會,說明他和米爾斯的研究成果。聽眾包括了奧本海默,還有在一九四○年轉任到普林斯頓大學的包立。

  結果包立之前早就嘗試過類似的邏輯了,他也發現了同樣令人困惑的結論,因為無法解決場粒子的質量問題,所以他放棄了這個方法。當楊振寧在黑板上寫出他的方程式,包立便尖聲說:

  「這個B場的質量多大?」他這麼問,並預期一個已知的答案。



  「我不知道,」楊振寧有些無力地回答。

  「這個B場的質量多大?」包立窮追不捨。

  「我們進行過研究,」楊振寧回答:「不過這問題太複雜了,我們現在還沒有答案。」

  「這可不是個好理由,」包立抱怨道。7



  楊振寧吃了一驚,尷尬地坐下。「我想我們應該讓法蘭克說完,」奧本海默提議道。於是楊振寧繼續講解,包立沒有再問任何問題,但他很不高興。隔天他留了一張紙條給楊振寧,上面寫著:「我很遺憾,你讓我在研討會後幾乎不可能和你說上話。」8