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日常生活中,到處都是力學實驗室

我們即使什麼都不做,只坐在椅子上,也有地球重力造成的力的效果。騎腳踏車前進,能體驗到地表上幾乎所有的運動狀態。搭電梯,可以在短時間內體驗到重力變化形成的運動。此外,去遊樂園搭乘騎乘玩具中最具代表性的雲霄飛車,還可以體驗到日常生活中體驗不到的力學現象。
第一章裡簡單地書明了本書欲涵蓋的事情,以及與其關聯的我們日常生活上體驗得到的事情。所以,幾乎沒有使用最被大家所懼怕的數學公式。
可惜的是,第二章以後數式與計算就會跑出來。這,我建議各位實際棟棟看身體與自己的感覺做比較,或是騎會兒腳踏車確認一下運動的狀態。
力學是將事情單純化,假設這樣就只會變成這樣的法則,套用法則去思考現象。將視情單純化,可能會出現很多不符合現實狀態的理想假設,例如:不考慮摩擦、不考慮抵抗力。所以,若各位感到理想假設下的計算結果與現實不符,可以將該答案想成1.5倍、2倍、1/1.5倍、1/2倍試試看。這種方法稱作補正,並非隨便湊數。
橡皮筋,廚房的磅秤,腳踏車,使用類似這種身邊的東西來做實驗看看吧。



能量是作功的能力-能量的形式和能量守恆

在力學裡定義能量為作功的能力。這裡作功的能力是什麼呢?
對準已經部分釘進木板內的釘子的頭部,手握鐵球舉起至某一高度後放手讓鐵球落下與釘子碰撞,釘子則被完全釘入木板內。透過這一連串的動作思考鐵球的活動,一度舉起而作功,然後落下,作功將釘子釘入。也就是說,被舉起直到碰撞到釘子的前一刻為止,鐵球存在於「能夠作功的狀態,但實際上未作功」。能夠但是不作,這代表作功的能力,亦即能量。
位於高度h的物體持有的能量稱為位能U。其大小以物體的重量x高度表示之,與功有相同的單位「J(焦耳)」。位於同樣高度,質量2m的鐵球相較於質量m的鐵球具有兩倍的位能。使鐵球落下則高度減少,位能也減少。但是,高度h的位置靜止速度v0=0的鐵球,相對位能的減少,得以速度v增加。運動中的物體具有的能量稱為動能T,位能減少的部分轉換成動能。高度h變為0時速度也達到最大速度vl,鐵球於高h處時所具有的位能全數轉換為動能。在此提及的位能與動能的總和稱為力學能量。落下中的鐵球其位能減少的部分轉換成動能,能量的總和並無變化。此為力學的能量守恆定律。


汽車發動、行駛到停止 加速度運動
加速度運動,是物體從高處落下,也是汽車發動加速的運動,讓我們從牛頓力學的角度來探討。
假設你開著車,於紅燈P點停止(圖1)。路上交通量很少且視野很好,直線200公尺的遠方你看到一個停止標誌。當交通訊號變綠燈,你以某一程度加速,並以定速度行駛一段時間後,再以某一程度減速,於停止線前停下車子。
圖1的時間—速度線圖中,以圖示再現了你剛才的駕駛狀況。從P點發動進行加速運動,及到Q點之前減速運動,兩者均屬於加速度運動。維持一定速度行駛的運動,是前面已經說明過的等速度運動。
在加速度運動中,每單位時間的速度變化率稱為加速度a。加速度a,使用現象的變化量delta,定義為速度的變化量delta v除以時間的變化量delta t,即定義為delta v / delta t。加速度的單位為速度(m/s) 除以時間(s),故為(m/s^2)(meter per square second、公尺每秒每秒)。
如圖2中①所示,從P點發動後的加速運動稱為正加速度運動,一般而言會省略「正」的文字敘述,直稱為加速度運動。如②中所示,Q點之前的減速運動稱為負加速度運動。再者,單點測量變化中的速度,可求得該點的瞬間加速度,以一定的加速度a持續加速的運動稱為等加速度。等加速度運動的時間—速度線圖,呈現斜直線。


斜向彈性碰撞-平面的碰撞
至前一節為止,我們探討了直線上的物體碰撞。在這一節我們要來學習平面的物體碰撞。
在圖之①中,試求以速度v在不考慮摩擦的地面發生斜向碰撞,物體的反彈速度v’。(a)為恢復係數為1,故-vy,(b)為恢復係數不滿1的情形,故為-evy。(a)反彈速度v’為vx與-vy的合成速度,(b)的反彈速度v’為vx與-evy的合成速度,求解。
在②中,碰撞前的動量為m1v1的物體1及m2v2的物體2發生的斜向碰撞。將V1與v2分別以x軸方向與y軸方向分解,以5-6節中的v1’與v2’的公式,求解v1x’與v1y’、v2x’與v2y’,並計算其分別合成的v1’與v2’。
在③中為兩物的彈性系數e=0時的碰撞(融合)範例。將數值簡單化,試求實際碰撞後的向量。動量均為2mv,交角60度的兩個物體,碰撞後融合成一體以速度V運動。試求速度V。
將動量的向量組合,形成一個四邊長均為2mv的60度夾角的菱形。菱形的對角線即為合成碰撞後的動量向量,故可知向量的作用線在夾角60度的二等分線上。碰撞後的質量為2m+m=3m,速度為V,則碰撞後的動量為3mV。菱形的對角線長度為2mv cos 30度的二倍,即3mV = 2 x 2mv cos 30度,可求得碰撞後的速度V。

打棒球與飛機的行進—動量的思考

目前為止我們探討了碰撞運動,其中不可或缺的碰撞問題,是打棒球題。如圖1所示,在球棒與球之間發生正碰撞之理想情況下,我們以彈性碰撞的問題來計算看看,打到球後,球棒的速度與球的初速。
預設條件如下。恢復係數e為0.4,球棒的質量m1為0.9kg,球棒速度v1為100km/h,球的質量m2為0.14kg,球的速度v2為-120km/h,擊球後球行進的方向為正(+)。將此條件代入5-6節中的式(3)與(4)中計算得知,擊球後瞬間的球棒速度為58.6km/h,球速為146.6km/h。
然而,右頁中速度v1、v2的單位為km/h。第1項、第2項均與單位無關,故此計算中省略了與m/s之間的單位轉換。
另外,雖與碰撞無關,要使圖2中的飛機飛行,需要有使機體前進的推力。此推力可以使用空氣及噴射氣流的流體作用力與反作用力,與動量兩方面來進行說明。
螺旋槳將空氣往機體後方推動,對螺旋槳飛機施予作用力,此時,空氣產生反作用力來推動飛機前進。同樣的原理,噴射引擎將噴射氣流往機體後方推動,對噴射機施予作用力,同時噴射氣流產生反作用力來推動飛機前進。我們可以牛頓力學求解推向後方的空氣及噴射氣流的動量,與機體前進動量之間的關係。