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2-2 中世紀的數學:阿拉伯與印度

古希臘在滅亡之後,中世紀西方世界的文明處於停頓狀態,而數學發展也不例外。學者輾轉逃到了阿拉伯印度等地方,在此刻是印度與阿拉伯有較多的數學研究。古希臘的幾何學帶動了當地的文明,但我們要知道古希臘的代數並沒有那麼多深入研究,主要是阿拉伯人在研究數學。

阿拉伯數學家花拉子米(Khwarizmi) 開創了代數學,他的著作「還原與對消計算概要」(西元820年前後) 於12世紀被譯成拉丁文,在歐洲產生具大影響,見圖2。回教文化因宗教原因,建築,繪畫,裝飾都不能出現人像,因而發展出豐富的幾何藝術,阿拉伯世界發展出的幾何藝術,可說是近代數學藝術的始祖,見圖3~5。

印度人使用巴比倫人的位置制原則,建立了10進位體糸,並創了具有完整意義的" 零 ",此外,他們還開創了" 負數" 的概念。 早在7世紀印度為了要處理負債問題,發明了0與負數,但到14世紀才傳到歐洲,並且歐洲人很抗拒負數,認為一切不能用眼睛數出來的數字,都不是上帝發明的數,非自然界存在的數字,既然不能看見,所以不能使用。在一開始傳授負數的知識時,甚至被當作異教徒、瀆神者而被抓去處死。連許多數學家也不能接受負數,更甚至連偉大的數學家歐拉也說"雖然我不知負數到底是什麼,但在計算上可以符合數學式"。一直到17世紀,歐洲大多數學家抵制負數的概念才逐漸減緩。

印度與阿拉伯的代數研究內容與希臘的幾何知識,啟發了歐洲的文藝復興。

所以中世紀的數學研究,印度與阿拉伯具有著承先啟後的地位。

5-2 數學與音樂與顏色(二)

牛頓發現顏色在光譜的頻率關係,並且自己定下顏色與音階的關係。除了音樂家將和弦思考為有顏色性,表現的有色彩張力。也有畫家將畫作表現得有如音樂一般熱鬧。

二十世紀初抽象派畫家瓦西裡‧康定斯基(Kandinsky:1866-1944) 的作品,他曾在莫斯科大學成為教授之前學過經濟學和法學。康定斯基使用各種不同的幾何形狀和色彩,企圖使圖像呈現出音樂般的旋律及和聲,見圖10、11。

在1872- 1944年荷蘭的蒙德里安(Piet Cornelies Mondrian)是現代主義(Modernism)藝術的藝術家,開始時蒙德里安創作風景畫,後來他轉變為抽象的風格。蒙德里安最著名的是用水平和垂直的黑線為基礎再進行了很多他的畫作。蒙德里安認為,數學和藝術緊密相連。他用最簡單的幾何形狀和三原色:藍、紅、黃,表達現實、性質、邏輯,這是一個不同的觀點。蒙德里安的觀點:任何形狀用基本幾何形狀組成,以及任何顏色都可以用紅,藍和黃的不同組合來建立。而黃金矩形是一個基本的形狀,不斷出現在蒙德里安的藝術中。見圖12、13。

蒙德里安在1926、1942年做了這兩幅畫,圖中有很多黃金矩形,並以紅色,黃色和藍色組成。

同時1839-1906的法國畫家:保羅 賽尚(Paul Cézanne),也有與蒙德里安類似的想法。他認為空間的形體可用圓錐、球等等立體幾何來構成,他的藝術概念經數學家研究後與空間拓樸學吻合。保羅•塞尚的風格介於印象派(Impressionism)到立體主義(Cubism)畫派之間。塞尚認為「線是不存在的,明暗也不存在,只存在色彩之間的對比。物象的體積是從色調準確的相互關係中表現出來」。他的作品大都是他自己藝術思想的體現,表現出結實的幾何體感,忽略物體的質感及造型的準確性,強調厚重、沉穩的體積感,物體之間的整體關係。有時候甚至為了尋求各種關係的和諧而放棄個體的獨立和真實性。塞尚認為:「畫畫並不意味著盲目地去複製現實,它意味著尋求各種關係的和諧。」從塞尚開始,西方畫家從追求真實地描畫自然,開始轉向表現自我,並開始出現形形色色的形式主義流派,形成現代繪畫的潮流。塞尚這種追求形式美感的藝術方法,為後來出現的現代油畫流派提供了引導,所以,其晚年為許多熱衷於現代藝術的畫家們所推崇,並尊稱他為「現代藝術之父」。見圖14、15

在1913俄羅斯的卡濟馬列維奇(Kazimir Malevich)創立至上主義(suprematism),並在1915年聖彼得堡的宣布展覽,他展出的36件作品具有相似的風格。至上主義根據"純至上的抽象藝術藝術的感覺",而不是物體的視覺描繪。至上主義側重於基本的幾何形狀,以圓形,方形,線條和矩形,並用有限的顏色創作,見圖16。

卡濟馬列維奇的學生李西茨基(El Lissitzky:1890-1941年12月30日),他是藝術家,設計師,印刷商,攝影師和建築師。他的至上主義藝術的內容影響構成主義Constructivism藝術運動的發展。因為他的風格特點和實踐,自1920到1930影響了生產技術和平面設計師。見圖17、18、19

我們可以觀察到數學與音樂與藝術一直互相影響。所以想要學習抽象的數學就要從抽象的藝術來引發興趣再來學習。