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1.1數學與藝術

什麼是數學?如果你在路上抓幾個路人來問這個問題,答案可能都是「數學是研究數字的科學」。確實,「數學」在望文生義的情況下,大多數人都以為只和「數字」有關。事實上,這樣對數學的描述,早在兩千多年前的希臘文明就不正確了。我們就從人類文明進展的脈絡來探討“什麼是數學? ”



1.1.1 西元前五百年 -實用及經驗法則的數學

在西元前五百年,數學在當時的發展,確實只侷限於數字,無論是埃及、巴比倫、印度或中國等古文明,都是如此。當時的數學,僅限於數字的實際應用,如建造金字塔、建築城牆、發明武器、劃分農地、興建水利及道路工程等等。當時的數學就像是烹飪書一樣,針對某形態的問題,有一相對應的解法(公式),數學的學習就像是背“烹飪書”,把數字套進正確的公式去就可以得到答案。這時期的數學僅局限於數字及簡單幾何圖形在實際生活的應用。見圖1到圖5。

數學重大的突破,發生在西元前五百年到西元後三百年這段期間的希臘文明。事實上,希臘人對數學和科學哲學的貢獻是人類文明發展極關鍵的一大步,希臘數學家/哲學家的貢獻主要在於幾何學及公理系統的建立。希臘人較不重視當時數學的實用性,他們感興趣的是數學作為掌握抽象概念的利器。他們發現,從簡單的點、線、面、圓的抽象概念開始,再依據嚴謹的邏輯推論,就可推導出許多重要的數學結果。譬如說,埃及人及巴比倫人早從實際應用知道畢氏定理,但只停留在” 知其然,但不知所以然” 的階段,而希臘人不但能從基本的幾何抽象概念證明出畢氏定理,而且還導出許多埃及人及巴比倫人不能從實用中得到的重要結果。

希臘數學家希帕霍斯(Hipparchus) 使用相似三角形的定理估算地球半徑為3944.3英里,這個數字與現代高科技測量到的地球半徑=3961.3英里只差17英里,誤差不到0.4% ! 真是“酷”極了。見圖6。

數學的定理是由公理經由演繹推理得到的結果,而非由觀察現象再加以「歸納」因此,在數學領域,對的東西永遠是對的,2000年前的定理到2000年後仍是對的,對的事實累積越來越多。當今大學的微積分和一百年前的微積分沒有太大不同,只是增加一些新內容。但在自然科學中,並非如此。例如物理學理論,新的發現不斷推翻舊有的理論,導出新理論。但數學卻是不斷累積起來的,所以數學與自然學科在本質上是不同的。舉例說明數學上的「演繹法」和自然科學常用的「歸納法」是大不同的,有何不同呢?譬如說你問一個物理學家,質數有哪些特性?他觀察數字1到13之後,用歸納法得到下列結論: 因為1、3、5、7、11,13都是質數也是奇數,只有2是質數卻是偶數,而 9是奇數但不是質數,因此所有的奇數都是質數,而2和9是例外,這就是用「歸納法」推論的結果。

再舉一例:有一外星人到地球研究人類,正巧降落在中國,於是他在觀察了約一億人之後,歸納出的結論是:「地球上所有人類都是黃皮膚。」

希臘人不強調數學應用在實務方面,而是用於智力訓練、智能發展、甚至用於美學上。現在,我們在課堂上所證明的幾何定理,大多沒有實用價值。而學習幾何證明題的目的,就是要讓大家學會嚴密推理、證明的方法。由於演繹推理能夠保證結論永遠邏輯正確,難怪希臘人認為埃及人和巴比倫人經由歸納觀察所積累的數學知識是空中樓閣,由沙子砌成的房子,一觸即潰。希臘人的目標是建造一座由大理石建成的永恆宮殿。而事實上,他們也達成這個目標: 演繹推理成為西方科學方法的主幹,演繹數學成為所有科學的語言直到今天。文藝復興時代的天才藝術家,科學家達文西也強調:「沒有通過數學檢驗的任何觀察和實驗都不能宣稱是科學。」